Applications Python : suites, intégrales, probabilités

Applications Python : suites (calcul de termes, somme, convergence), intégrales (méthode des rectangles, des trapèzes), probabilités (simulation de lancers, loi binomiale, estimation de π par Monte Carlo). Méthode des rectangles : ∫(a,b) f dx ≈ Σ f(xi)·Δx. Simulation de la loi binomiale : n lancers, compter les succès. Monte Carlo : estimer π par la fréquence de points dans le quart de disque. Python permet de visualiser (matplotlib), d'automatiser, de conjecturer puis démontrer.

📝 Examen de trimestre (barème : 20 pts, grille : 16-20 = TB, 12-15 = B, 8-11 = passable, <8 = insuffisant)

1. Programme : termes d'une suite arithmétique. (2 pts)
2. Programme : somme des 100 premiers entiers. (2 pts)
3. Méthode des rectangles pour ∫(0,1) x² dx (n=1000). (3 pts)
4. Simulation de 100 lancers de pièce, fréquence de Pile. (2 pts)
5. Estimation de π par Monte Carlo (10000 points). (3 pts)
6. Programme : convergence d'une suite géométrique. (2 pts)
7. Simulation loi binomiale B(10, 0,3). (2 pts)
8. Méthode des trapèzes. (2 pts)
9. Conjecture puis démontre Σk=n(n+1)/2. (2 pts)

Corrigé et barème :

1. u=u0; for i in range(n): u+=r; L.append(u) (2 pts).
2. sum(range(101))=5050 (2 pts).
3. dx=0,001; s=sum((idx)**2dx for i in range(1000))≈0,333 (3 pts).
4. import random; f=sum(1 for _ in range(100) if random.random()<0,5)/100 (2 pts).
5. import random; n=sum(1 for _ in range(10000) if random.random()**2+random.random()**2<1)/10000; π≈4n (3 pts).
6. u=u0; for i in range(n): u*=q; afficher u (tend vers 0) (2 pts).
7. import random; X=sum(1 for _ in range(10) if random.random()<0,3) (2 pts).
8. trapèzes : s=dx·((f(a)+f(b))/2+Σf(xi)) (2 pts).
9. Conjecturer n(n+1)/2, puis récurrence (2 pts).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : Somme des 100 premiers entiers ?

Méthode : Somme Python.

Étapes détaillées :

1. Somme Python.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : sum(range(101))=5050

Corrigé de l'exercice 2

Question : Estimer ∫(0,1) x² dx (n=1000) ?

Méthode : Méthode des rectangles.

Étapes détaillées :

1. Identifie la fonction à intégrer et les bornes.
2. Cherche une primitive F de f (tableau des primitives usuelles, ou IPP / changement de variable).
3. Applique le théorème fondamental : ∫(a,b) f = F(b) − F(a).
4. Effectue le calcul et donne le résultat (avec l'unité si c'est une aire).

Réponse finale : ≈0,333

Corrigé de l'exercice 3

Question : Fréquence de Pile sur 100 lancers ?

Méthode : Simulation.

Étapes détaillées :

1. Simulation.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : ≈0,5

Corrigé de l'exercice 4

Question : Estimation de π par Monte Carlo ?

Méthode : Monte Carlo.

Étapes détaillées :

1. Monte Carlo.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 4·fréquence dans le quart-disque

Corrigé de l'exercice 5

Question : Convergence d'une suite géométrique |q|<1 ?

Méthode : |q|<1.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de suite (arithmétique, géométrique, récurrente…).
2. Si récurrence : initialisation (vérifier P(n0)), hérédité (P(n) ⇒ P(n+1)), conclusion.
3. Si convergence : étudier la monotonie et la borne, ou appliquer le théorème des gendarmes ou des suites adjacentes.
4. Conclus avec la limite ou la propriété démontrée.

Réponse finale : Tend vers 0

Corrigé de l'exercice 6

Question : Simulation loi binomiale B(10, 0,3) ?

Méthode : Loi binomiale.

Étapes détaillées :

1. Modélise l'expérience : univers, événement, schéma de Bernoulli si applicable.
2. Applique les formules : P(A), P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) pour B(n,p), E(X)=np, V(X)=np(1−p).
3. Si intervalle de confiance : [f−1/√n, f+1/√n]. Si fluctuation : [p−1/√n, p+1/√n].
4. Vérifie que les probabilités sont entre 0 et 1, et interprète le résultat.

Réponse finale : Compter les succès

Corrigé de l'exercice 7

Question : Méthode des trapèzes ?

Méthode : Trapèzes.

Étapes détaillées :

1. Trapèzes.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : dx·((f(a)+f(b))/2+Σf(xi))

Corrigé de l'exercice 8

Question : Conjecture de Σ(k=1 à n) k ?

Méthode : Conjecture.

Étapes détaillées :

1. Conjecture.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : n(n+1)/2