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TerminaleProbabilitésAvancé

Intervalle de confiance et échantillonnage

Soit X~B(n,p) la fréquence observée f=X/n. L'intervalle de confiance de niveau 95% pour p est I=[f−1/√n, f+1/√n]. Démonstration : par concentration, P(|f−p|≤1/√n)≈0,95 (approximation). Conditions : n≥30, f pas trop proche de 0 ou 1. Pour un autre niveau (par ex. 99%), on adapte le coefficient. L'intervalle de fluctuation (test) : si p connu, [p−1/√n, p+1/√n] contient f avec probabilité 0,95. Applications : tester si un sondage est conforme, estimer une proportion, prendre une décision (rejeter ou non une hypothèse).

📝 Examen de trimestre (barème : 20 pts, grille : 16-20 = TB, 12-15 = B, 8-11 = passable, <8 = insuffisant)

  1. Intervalle de confiance à 95% pour p. (1 pt)
  2. f=0,4, n=100. IC ? (2 pts)
  3. f=0,5, n=400. IC ? (2 pts)
  4. Intervalle de fluctuation à 95%. (1 pt)
  5. p=0,5, n=100. IF ? (2 pts)
  6. Test : f=0,6, p=0,5, n=100. Conforme ? (2 pts)
  7. Démontre l'IC à 95% (idée). (2 pts)
  8. Condition n pour l'IC. (1 pt)
  9. Largeur de l'IC. (1 pt)
  10. Sondage 1000, f=0,52. IC. (2 pts)
  11. Test : p=0,3, f=0,4, n=100. Décision. (2 pts)
  12. Influence de n sur la précision. (1 pt)
  13. IC à 99% : coefficient. (1 pt)
  14. f=0,2, n=25. IC fiable ? (1 pt)
  15. Comparer IC et IF. (1 pt)
  16. p=0,4, n=400. IF. (2 pts)
  17. Décision : f dans IF ⇒ ? (1 pt)
  18. Erreur d'échantillonnage. (1 pt)
  19. Sondage politique : interprétation. (2 pts)
  20. Marge d'erreur et confiance. (1 pt)

Corrigé et barème :

  1. [f−1/√n, f+1/√n] (1 pt).
  2. [0,4−0,1, 0,4+0,1]=[0,3, 0,5] (2 pts).
  3. [0,5−0,05, 0,5+0,05]=[0,45, 0,55] (2 pts).
  4. [p−1/√n, p+1/√n] (1 pt).
  5. [0,4, 0,6] (2 pts).
  6. IF=[0,4, 0,6], f=0,6 dans IF, conforme (2 pts).
  7. Par concentration et approximation normale (2 pts).
  8. n≥30, f pas extrême (1 pt).
  9. 2/√n (1 pt).
  10. [0,52−0,032, 0,52+0,032]≈[0,488, 0,552] (2 pts).
  11. IF=[0,2, 0,4], f=0,4 dans IF, conforme (2 pts).
  12. Plus n grand, plus précis (1 pt).
  13. 1/(√(n))×2,58/1,96 (1 pt).
  14. Non (n<30) (1 pt).
  15. IC estime p, IF teste (1 pt).
  16. [0,4−0,05, 0,4+0,05]=[0,35, 0,45] (2 pts).
  17. Accepter l'hypothèse (1 pt).
  18. Écart f−p (1 pt).
  19. Fourchette d'estimation (2 pts).
  20. Compromis précision/confiance (1 pt).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : Intervalle de confiance à 95% pour p ?

Méthode : Formule.

Étapes détaillées :

  1. Formule.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : [f−1/√n, f+1/√n]

Corrigé de l'exercice 2

Question : f=0,4, n=100. IC ?

Méthode : ±1/10.

Étapes détaillées :

  1. ±1/10.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : [0,3, 0,5]

Corrigé de l'exercice 3

Question : f=0,5, n=400. IC ?

Méthode : ±1/20.

Étapes détaillées :

  1. ±1/20.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : [0,45, 0,55]

Corrigé de l'exercice 4

Question : Intervalle de fluctuation à 95% ?

Méthode : Test.

Étapes détaillées :

  1. Test.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : [p−1/√n, p+1/√n]

Corrigé de l'exercice 5

Question : p=0,5, n=100. IF ?

Méthode : ±1/10.

Étapes détaillées :

  1. ±1/10.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : [0,4, 0,6]

Corrigé de l'exercice 6

Question : Test : f=0,6, p=0,5, n=100. Conforme ?

Méthode : f=0,6 dans [0,4, 0,6].

Étapes détaillées :

  1. f=0,6 dans [0,4, 0,6].
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : Conforme (f dans IF)

Corrigé de l'exercice 7

Question : Largeur de l'IC ?

Méthode : Largeur.

Étapes détaillées :

  1. Largeur.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 2/√n

Corrigé de l'exercice 8

Question : Condition n pour l'IC fiable ?

Méthode : Conditions.

Étapes détaillées :

  1. Conditions.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : n≥30, f pas extrême

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