Somme de variables, concentration et loi des grands nombres

Soit X~B(n,p). L'espérance E(X)=np mesure la valeur moyenne, l'écart-type σ=√(np(1−p)) la dispersion. Concentration (loi faible des grands nombres) : pour ε>0, P(|X/n−p|≥ε) ≤ 1/(n·ε²), donc X/n tend vers p en probabilité. La fréquence observée se concentre autour de p quand n grandit. Somme de variables : si X~B(n,p) et Y~B(m,p) indépendantes, X+Y~B(n+m, p). Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(|X−E(X)|≥k·σ) ≤ 1/k². La concentration justifie l'estimation par sondage.

📝 Examen de trimestre (barème : 20 pts, grille : 16-20 = TB, 12-15 = B, 8-11 = passable, <8 = insuffisant)

1. E(X) pour B(100, 0,4). (1 pt)
2. σ pour B(100, 0,4). (1 pt)
3. Loi faible des grands nombres : énoncé. (2 pts)
4. X~B(n,p), Y~B(m,p). X+Y ? (2 pts)
5. P(|X/n−p|≥0,1) ≤ ? pour n=100, p=0,5. (2 pts)
6. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. (2 pts)
7. Démontre E(X+Y)=E(X)+E(Y). (1 pt)
8. σ(X+Y) si X, Y indépendantes. (1 pt)
9. Concentration : interprétation. (1 pt)
10. P(|X−40|≥20) pour B(100, 0,4). (2 pts)
11. V(X+Y) pour X, Y indépendantes. (1 pt)
12. Loi de 2·X si X~B(n,p). (2 pts)
13. Convergence de X/n. (1 pt)
14. Sondage n=1000, P(|f−p|≥0,05) si p=0,5. (2 pts)
15. σ(f)=σ(X/n). (1 pt)
16. Démontre V(a·X)=a²·V(X). (1 pt)
17. Somme de B(n,p) et B(n,p). (1 pt)
18. Loi des grands nombres : application. (1 pt)
19. P(|X/n−p|≥ε) ≤ 1/(nε²). Démontre (idée). (2 pts)
20. Interprétation de la concentration. (1 pt)

Corrigé et barème :

1. 40 (1 pt).
2. √24≈4,9 (1 pt).
3. X/n → p en probabilité (2 pts).
4. B(n+m, p) (2 pts).
5. ≤ 1/(100·0,01)=1 (non informatif ici) (2 pts).
6. P(|X−E(X)|≥kσ) ≤ 1/k² (2 pts).
7. Linéarité de l'espérance (1 pt).
8. √(V(X)+V(Y)) (1 pt).
9. La fréquence se rapproche de p (1 pt).
10. k=20/√24≈4, P≤1/16≈0,0625 (2 pts).
11. V(X)+V(Y) (indépendance) (1 pt).
12. E=2np, V=4np(1−p), pas binomiale simple (loi de 2X) (2 pts).
13. Vers p (1 pt).
14. ≤ 1/(1000·0,0025)=0,4 (2 pts).
15. σ(X)/n=√(p(1−p)/n) (1 pt).
16. V(aX)=a²V(X) (1 pt).
17. B(2n, p) (1 pt).
18. Estimation par sondage (1 pt).
19. Bienaymé-Tchebychev (2 pts).
20. Stabilité statistique (1 pt).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : E(X) pour B(100, 0,4) ?

Méthode : n·p.

Étapes détaillées :

1. n·p.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 40

Corrigé de l'exercice 2

Question : σ pour B(100, 0,4) ?

Méthode : √(np(1−p)).

Étapes détaillées :

1. √(np(1−p)).
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : √24≈4,9

Corrigé de l'exercice 3

Question : Loi faible des grands nombres : énoncé ?

Méthode : Loi faible.

Étapes détaillées :

1. Loi faible.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : X/n → p en probabilité

Corrigé de l'exercice 4

Question : X~B(n,p), Y~B(m,p) indépendantes. X+Y ?

Méthode : Somme de binomiales.

Étapes détaillées :

1. Somme de binomiales.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : B(n+m, p)

Corrigé de l'exercice 5

Question : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Méthode : Inégalité.

Étapes détaillées :

1. Inégalité.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : P(|X−E(X)|≥kσ) ≤ 1/k²

Corrigé de l'exercice 6

Question : V(X+Y) pour X, Y indépendantes ?

Méthode : Indépendance.

Étapes détaillées :

1. Indépendance.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : V(X)+V(Y)

Corrigé de l'exercice 7

Question : Somme de B(n,p) et B(n,p) ?

Méthode : Deux binomiales.

Étapes détaillées :

1. Deux binomiales.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : B(2n, p)

Corrigé de l'exercice 8

Question : σ(f) pour f=X/n ?

Méthode : σ(X)/n.

Étapes détaillées :

1. σ(X)/n.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : √(p(1−p)/n)