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TerminaleProbabilitésAvancé

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant deux issues : succès (S) de probabilité p, échec (E) de probabilité q=1−p. La variable X comptant le nombre de succès suit la loi binomiale B(n, p). P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k). Espérance E(X)=n·p, variance V(X)=n·p·(1−p), écart-type σ=√(n·p·(1−p)). Démonstration de E(X)=np : linéarité avec les variables de Bernoulli indicatrices. La loi binomiale modélise des sondages, des tirages avec remise, des défauts de production.

📝 Examen de trimestre (barème : 20 pts, grille : 16-20 = TB, 12-15 = B, 8-11 = passable, <8 = insuffisant)

  1. P(X=k) pour B(n,p). (1 pt)
  2. E(X) pour B(n,p). (1 pt)
  3. V(X) pour B(n,p). (1 pt)
  4. P(X=2) pour B(5, 0,3). (2 pts)
  5. P(X=0) pour B(4, 0,1). (2 pts)
  6. E(X) pour B(10, 0,4). (1 pt)
  7. V(X) pour B(10, 0,4). (1 pt)
  8. σ pour B(100, 0,5). (1 pt)
  9. Démontre P(X=k)=C(n,k)p^k q^(n−k). (2 pts)
  10. 10 lancers de pièce, P(X=5). (2 pts)
  11. P(X≥1) pour B(3, 0,2). (2 pts)
  12. Démontre E(X)=n·p. (2 pts)
  13. P(X=3) pour B(6, 0,5). (2 pts)
  14. 20 tirages, défaut 5%, P(X=0). (2 pts)
  15. P(X≤2) pour B(4, 0,3). (2 pts)
  16. Condition pour un schéma de Bernoulli. (1 pt)
  17. E(X) pour B(50, 0,2). (1 pt)
  18. Sondage : 1000 personnes, P(X=500) si p=0,5. (1 pt)
  19. Approximation de B(n, p) pour grand n. (1 pt)
  20. P(X=10) pour B(20, 0,5). (1 pt)

Corrigé et barème :

  1. C(n,k)p^k(1−p)^(n−k) (1 pt).
  2. n·p (1 pt).
  3. n·p·(1−p) (1 pt).
  4. C(5,2)·0,3²·0,7³=10·0,09·0,343=0,3087 (2 pts).
  5. 0,9⁴=0,6561 (2 pts).
  6. 4 (1 pt).
  7. 2,4 (1 pt).
  8. √25=5 (1 pt).
  9. k succès parmi n (combinaison), chacun de proba p (2 pts).
  10. C(10,5)·0,5^10=252/1024≈0,246 (2 pts).
  11. 1−P(X=0)=1−0,8³=0,488 (2 pts).
  12. Σ des indicatrices, linéarité (2 pts).
  13. C(6,3)·0,5⁶=20/64=0,3125 (2 pts).
  14. 0,95^20≈0,358 (2 pts).
  15. P(0)+P(1)+P(2)=0,7⁴+4·0,3·0,7³+6·0,09·0,49=0,2401+0,4116+0,2646=0,9163 (2 pts).
  16. Épreuves identiques indépendantes, 2 issues (1 pt).
  17. 10 (1 pt).
  18. Approximativement 0,025 (pic) (1 pt).
  19. Loi normale (1 pt).
  20. C(20,10)·0,5^20≈0,176 (1 pt).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : P(X=k) pour B(n,p) ?

Méthode : Formule.

Étapes détaillées :

  1. Formule.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)

Corrigé de l'exercice 2

Question : E(X) pour B(n,p) ?

Méthode : Espérance.

Étapes détaillées :

  1. Espérance.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : n·p

Corrigé de l'exercice 3

Question : V(X) pour B(n,p) ?

Méthode : Variance.

Étapes détaillées :

  1. Variance.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : n·p·(1−p)

Corrigé de l'exercice 4

Question : P(X=2) pour B(5, 0,3) ?

Méthode : C(5,2)·0,09·0,343.

Étapes détaillées :

  1. C(5,2)·0,09·0,343.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 0,3087

Corrigé de l'exercice 5

Question : P(X=0) pour B(4, 0,1) ?

Méthode : 0,9⁴.

Étapes détaillées :

  1. 0,9⁴.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 0,6561

Corrigé de l'exercice 6

Question : E(X) pour B(10, 0,4) ?

Méthode : n·p.

Étapes détaillées :

  1. n·p.
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 4

Corrigé de l'exercice 7

Question : P(X≥1) pour B(3, 0,2) ?

Méthode : 1−P(X=0).

Étapes détaillées :

  1. 1−P(X=0).
  2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
  3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
  4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 0,488

Corrigé de l'exercice 8

Question : Condition pour un schéma de Bernoulli ?

Méthode : Définition.

Étapes détaillées :

  1. Modélise l'expérience : univers, événement, schéma de Bernoulli si applicable.
  2. Applique les formules : P(A), P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) pour B(n,p), E(X)=np, V(X)=np(1−p).
  3. Si intervalle de confiance : [f−1/√n, f+1/√n]. Si fluctuation : [p−1/√n, p+1/√n].
  4. Vérifie que les probabilités sont entre 0 et 1, et interprète le résultat.

Réponse finale : Épreuves identiques indépendantes, 2 issues

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