Intégration par parties et changement de variable

Théorème fondamental : si f est continue et F une primitive, ∫(a à b) f(x) dx = F(b)−F(a). L'intégrale est l'aire algébrique sous la courbe. Intégration par parties : ∫ u·v' dx = [u·v] − ∫ u'·v dx (choisir u à dériver, v' à intégrer). Changement de variable : poser t=g(x), ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(t) dt (en ajustant les bornes). L'intégration par parties sert à intégrer produits (x·e^x, x·ln x, polynômes×trigonométriques). Le changement de variable sert à reconnaître des formes composées.

📝 Examen de trimestre (barème : 20 pts, grille : 16-20 = TB, 12-15 = B, 8-11 = passable, <8 = insuffisant)

1. Énoncé du théorème fondamental. (2 pts)
2. ∫(0 à 1) x·e^x dx (IPP). (3 pts)
3. ∫(1 à e) ln x dx (IPP). (3 pts)
4. ∫(0 à π/2) x·cos x dx (IPP). (3 pts)
5. Changement de variable t=2x dans ∫(0 à 1) 2x·e^(x²) dx. (3 pts)
6. ∫(0 à 1) x/(1+x²) dx (CV t=1+x²). (3 pts)
7. Démontre l'IPP. (2 pts)
8. ∫(0 à π) x·sin x dx (IPP). (2 pts)
9. ∫(0 à 1) (2x+1)⁵ dx (CV). (2 pts)
10. Démontre le théorème fondamental. (2 pts)
11. ∫(1 à 2) x·ln x dx (IPP). (3 pts)
12. Choix de u et v' dans une IPP. (1 pt)

Corrigé et barème :

1. ∫(a,b) f = F(b)−F(a) (2 pts).
2. u=x, v'=e^x, x·e^x−∫e^x = e−(e−1)=1 (3 pts).
3. u=ln x, v'=1, x·ln x−x=(e−e)−(0−1)=1 (3 pts).
4. u=x, v'=cos x, x·sin x+cos x=(π/2·1+0)−(0+1)=π/2−1 (3 pts).
5. t=2x, dt=2dx, ∫(0,2) (t/2)·e^(t/2)·(1/2)dt — en fait t=x², dt=2x dx, ∫(0,1) 2x·e^(x²) dx = ∫(0,1) e^t dt = e−1 (3 pts).
6. t=1+x², dt=2x dx, ∫(1,2) (1/2)·(1/t) dt=(1/2)·ln t=(ln 2)/2 (3 pts).
7. (u·v)'=u'·v+u·v', intégrer (2 pts).
8. u=x, v'=sin x, −x·cos x+sin x=(π+0)−0=π (2 pts).
9. t=2x+1, (1/2)·∫(1,3) t⁵ dt=(1/2)·t⁶/6=(729−1)/12=364/6=182/3 (2 pts).
10. G(x)=∫(a,x) f, G'=f (2 pts).
11. u=ln x, v'=x, x²·ln x /2−∫(1,2) x/2 dx=(4·ln 2/2−0)−x²/4=2·ln 2−(1−1/4)=2·ln 2−3/4 (3 pts).
12. Dériver u, intégrer v' (1 pt).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : ∫(0 à 1) x·e^x dx (IPP) ?

Méthode : u=x, v'=e^x.

Étapes détaillées :

1. Identifie la fonction à intégrer et les bornes.
2. Cherche une primitive F de f (tableau des primitives usuelles, ou IPP / changement de variable).
3. Applique le théorème fondamental : ∫(a,b) f = F(b) − F(a).
4. Effectue le calcul et donne le résultat (avec l'unité si c'est une aire).

Réponse finale : 1

Corrigé de l'exercice 2

Question : ∫(1 à e) ln x dx (IPP) ?

Méthode : u=ln x, v'=1.

Étapes détaillées :

1. Identifie la fonction à intégrer et les bornes.
2. Cherche une primitive F de f (tableau des primitives usuelles, ou IPP / changement de variable).
3. Applique le théorème fondamental : ∫(a,b) f = F(b) − F(a).
4. Effectue le calcul et donne le résultat (avec l'unité si c'est une aire).

Réponse finale : 1 (e−e−(0−1))

Corrigé de l'exercice 3

Question : ∫(0 à π/2) x·cos x dx (IPP) ?

Méthode : u=x, v'=cos x.

Étapes détaillées :

1. Identifie la fonction à intégrer et les bornes.
2. Cherche une primitive F de f (tableau des primitives usuelles, ou IPP / changement de variable).
3. Applique le théorème fondamental : ∫(a,b) f = F(b) − F(a).
4. Effectue le calcul et donne le résultat (avec l'unité si c'est une aire).

Réponse finale : π/2−1

Corrigé de l'exercice 4

Question : ∫(0 à 1) 2x·e^(x²) dx (CV) ?

Méthode : t=x².

Étapes détaillées :

1. Identifie la fonction à intégrer et les bornes.
2. Cherche une primitive F de f (tableau des primitives usuelles, ou IPP / changement de variable).
3. Applique le théorème fondamental : ∫(a,b) f = F(b) − F(a).
4. Effectue le calcul et donne le résultat (avec l'unité si c'est une aire).

Réponse finale : e−1

Corrigé de l'exercice 5

Question : ∫(0 à 1) x/(1+x²) dx (CV) ?

Méthode : t=1+x².

Étapes détaillées :

1. Identifie la fonction à intégrer et les bornes.
2. Cherche une primitive F de f (tableau des primitives usuelles, ou IPP / changement de variable).
3. Applique le théorème fondamental : ∫(a,b) f = F(b) − F(a).
4. Effectue le calcul et donne le résultat (avec l'unité si c'est une aire).

Réponse finale : (ln 2)/2

Corrigé de l'exercice 6

Question : Formule d'intégration par parties ?

Méthode : IPP.

Étapes détaillées :

1. IPP.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : ∫ u·v' = [u·v] − ∫ u'·v

Corrigé de l'exercice 7

Question : ∫(0 à π) x·sin x dx (IPP) ?

Méthode : u=x, v'=sin x.

Étapes détaillées :

1. Identifie la fonction à intégrer et les bornes.
2. Cherche une primitive F de f (tableau des primitives usuelles, ou IPP / changement de variable).
3. Applique le théorème fondamental : ∫(a,b) f = F(b) − F(a).
4. Effectue le calcul et donne le résultat (avec l'unité si c'est une aire).

Réponse finale : π

Corrigé de l'exercice 8

Question : Comment choisir u et v' dans une IPP ?

Méthode : Choix.

Étapes détaillées :

1. Choix.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : Dériver u, intégrer v'