Continuité, théorème des valeurs intermédiaires et bijection

Une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)=f(a). Elle est continue sur un intervalle I si continue en tout point de I. Les fonctions usuelles (polynômes, exp, ln, sin, cos) sont continues sur leur domaine. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si f est continue sur [a, b] et k ∈ [f(a), f(b)] (ou [f(b), f(a)]), alors il existe c ∈ [a, b] tel que f(c)=k. Si f est de plus strictement monotone, c est unique : f réalise une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)]. Conséquence : toute équation f(x)=k admet une solution si f continue et k entre f(a) et f(b).

📝 Examen de trimestre (barème : 20 pts, grille : 16-20 = TB, 12-15 = B, 8-11 = passable, <8 = insuffisant)

1. Définition de continuité en a. (1 pt)
2. f(x)=x² continue sur ℝ ? (1 pt)
3. f(x)=|x| continue en 0 ? (1 pt)
4. Énoncé du TVI. (2 pts)
5. f(x)=x³−x. Combien de racines dans [−2, 2] ? (2 pts)
6. Démontre le TVI (idée). (2 pts)
7. f continue et strictement croissante sur [a, b]. Bijection ? (2 pts)
8. f(x)=e^x−2. Solution de f(x)=0. (2 pts)
9. f(x)=x² sur ℝ. Bijection sur [0, +∞[ ? (1 pt)
10. f(x)=cos x sur [0, π]. Bijection ? (2 pts)
11. Démontre que x³+x−1=0 a une solution. (2 pts)
12. f(x)=1/x continue sur ]0, +∞[ ? (1 pt)
13. Théorème de la bijection : énoncé. (1 pt)
14. f(x)=x²−5. Solution dans [2, 3]. (1 pt)
15. Continuité et stricte monotonie ⇒ solution unique. (1 pt)
16. f(x)=ln x. Continue sur ]0, +∞[ ? (1 pt)
17. f(x)=sin x. Bijection sur [−π/2, π/2]. (1 pt)
18. Approximation d'une solution par dichotomie. (1 pt)
19. f(x)=x³−3x+1. Racines. (2 pts)
20. Image d'un intervalle par f continue. (1 pt)

Corrigé et barème :

1. lim(x→a) f(x)=f(a) (1 pt).
2. Oui (1 pt).
3. Oui (non dérivable mais continue) (1 pt).
4. f continue sur [a,b], k∈[f(a),f(b)] ⇒ ∃c∈[a,b], f(c)=k (2 pts).
5. f(−2)=−6, f(2)=6, TVI et étude de variation : 3 racines (−√(1/3), ... en fait x(x²−1)=0 : −1, 0, 1) (2 pts).
6. Par dichotomie ou suites emboîtées (2 pts).
7. Bijection de [a,b] sur [f(a),f(b)] (2 pts).
8. e^x=2, x=ln 2 (2 pts).
9. Oui (stricte croissance) (1 pt).
10. Décroissante, bijection sur [−1, 1] (2 pts).
11. f(0)=−1<0, f(1)=1>0, TVI, solution (2 pts).
12. Oui (1 pt).
13. f continue strictement monotone ⇒ bijection (1 pt).
14. f(2)=−1<0, f(3)=4>0, solution √5 (1 pt).
15. Unicité (1 pt).
16. Oui (1 pt).
17. Croissante, bijection (1 pt).
18. Partager l'intervalle en 2 (1 pt).
19. f(−2)<0, f(0)>0, f(1)<0, f(2)>0, 3 racines (2 pts).
20. Intervalle (théorème image continue) (1 pt).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : Définition de continuité en a ?

Méthode : Définition.

Étapes détaillées :

1. Vérifie la continuité de f sur l'intervalle (fonctions usuelles continues sur leur domaine).
2. Si TVI : vérifie que k est entre f(a) et f(b), conclut qu'il existe c tel que f(c)=k.
3. Si bijection : vérifie la stricte monotonie, conclut l'unicité de c.
4. Si approximation : applique la dichotomie.

Réponse finale : lim(x→a) f(x)=f(a)

Corrigé de l'exercice 2

Question : f(x)=x² continue sur ℝ ?

Méthode : Polynôme.

Étapes détaillées :

1. Vérifie la continuité de f sur l'intervalle (fonctions usuelles continues sur leur domaine).
2. Si TVI : vérifie que k est entre f(a) et f(b), conclut qu'il existe c tel que f(c)=k.
3. Si bijection : vérifie la stricte monotonie, conclut l'unicité de c.
4. Si approximation : applique la dichotomie.

Réponse finale : Oui

Corrigé de l'exercice 3

Question : f(x)=|x| continue en 0 ?

Méthode : Limite en 0.

Étapes détaillées :

1. Vérifie la continuité de f sur l'intervalle (fonctions usuelles continues sur leur domaine).
2. Si TVI : vérifie que k est entre f(a) et f(b), conclut qu'il existe c tel que f(c)=k.
3. Si bijection : vérifie la stricte monotonie, conclut l'unicité de c.
4. Si approximation : applique la dichotomie.

Réponse finale : Oui (non dérivable)

Corrigé de l'exercice 4

Question : Énoncé du TVI ?

Méthode : TVI.

Étapes détaillées :

1. Vérifie la continuité de f sur l'intervalle (fonctions usuelles continues sur leur domaine).
2. Si TVI : vérifie que k est entre f(a) et f(b), conclut qu'il existe c tel que f(c)=k.
3. Si bijection : vérifie la stricte monotonie, conclut l'unicité de c.
4. Si approximation : applique la dichotomie.

Réponse finale : ∃c∈[a,b], f(c)=k

Corrigé de l'exercice 5

Question : f continue et strictement croissante sur [a, b]. Conclusion ?

Méthode : Bijection.

Étapes détaillées :

1. Vérifie la continuité de f sur l'intervalle (fonctions usuelles continues sur leur domaine).
2. Si TVI : vérifie que k est entre f(a) et f(b), conclut qu'il existe c tel que f(c)=k.
3. Si bijection : vérifie la stricte monotonie, conclut l'unicité de c.
4. Si approximation : applique la dichotomie.

Réponse finale : Bijection de [a,b] sur [f(a),f(b)]

Corrigé de l'exercice 6

Question : f(x)=e^x−2. Solution de f(x)=0 ?

Méthode : e^x=2.

Étapes détaillées :

1. Utilise les propriétés de ln (ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)−ln(b), ln(a^n)=n·ln(a)) ou de exp.
2. Se ramène à ln(A)=ln(B) ⇔ A=B (avec A>0, B>0) ou e^A=e^B ⇔ A=B.
3. Résous l'équation/inéquation obtenue.
4. Vérifie les conditions d'existence (argument de ln > 0).

Réponse finale : x=ln 2

Corrigé de l'exercice 7

Question : f(x)=x² sur [0, +∞[. Bijection ?

Méthode : Monotonie.

Étapes détaillées :

1. Monotonie.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : Oui (stricte croissance)

Corrigé de l'exercice 8

Question : f(x)=1/x continue sur ]0, +∞[ ?

Méthode : Continue sur son domaine.

Étapes détaillées :

1. Vérifie la continuité de f sur l'intervalle (fonctions usuelles continues sur leur domaine).
2. Si TVI : vérifie que k est entre f(a) et f(b), conclut qu'il existe c tel que f(c)=k.
3. Si bijection : vérifie la stricte monotonie, conclut l'unicité de c.
4. Si approximation : applique la dichotomie.

Réponse finale : Oui (continue)