Convergence et limites de suites

Une suite (u(n)) converge vers un réel L si pour tout ε > 0, il existe N tel que pour tout n ≥ N, |u(n)−L| < ε. On note lim u(n) = L. Sinon, la suite diverge. Opérations sur les limites : lim(u+v)=lim u + lim v, lim(u·v)=lim u · lim v (avec formes indéterminées 0·∞, ∞−∞, ∞/∞). Limites de référence : lim(1/n)=0, lim(q^n)=0 si |q|<1, +∞ si q>1. Une suite croissante majorée converge (théorème de convergence monotone). Théorème des gendarmes : si u(n) ≤ v(n) ≤ w(n) et u(n), w(n) → L, alors v(n) → L.

📝 Examen de trimestre (barème : 20 pts, grille : 16-20 = TB, 12-15 = B, 8-11 = passable, <8 = insuffisant)

1. lim(1/n). (1 pt)
2. lim(2^n). (1 pt)
3. lim(0,5^n). (1 pt)
4. lim(n²+3n). (1 pt)
5. lim((n+1)/n). (1 pt)
6. lim(n²−2^n). Forme indéterminée ? (2 pts)
7. lim((−1)^n). (1 pt)
8. Théorème des gendarmes : énoncé. (2 pts)
9. lim(sin(n)/n). (2 pts)
10. Démontre que 1/n → 0. (2 pts)
11. Suite croissante majorée : que dit le théorème ? (1 pt)
12. u(n)=1+1/n. Limite. (1 pt)
13. Forme indéterminée : 0×∞. Exemple. (1 pt)
14. lim(n·(1/n−1)). (2 pts)
15. lim((3n²+1)/(2n²−5)). (2 pts)
16. Démontre le théorème des gendarmes. (2 pts)
17. u(n)=(−1)^n/n. Limite. (2 pts)
18. Convergence monotone : application. (1 pt)
19. lim((cos n)/n). (1 pt)
20. lim(n/2^n). (1 pt)

Corrigé et barème :

1. 0 (1 pt).
2. +∞ (1 pt).
3. 0 (1 pt).
4. +∞ (1 pt).
5. 1 (1 pt).
6. −∞ (l'exponentielle domine) (2 pts).
7. N'existe pas (oscille) (1 pt).
8. u≤v≤w, u,w→L ⇒ v→L (2 pts).
9. |sin n/n|≤1/n→0, gendarmes, 0 (2 pts).
10. Pour ε>0, N>1/ε, n≥N ⇒ 1/n<ε (2 pts).
11. Converge vers L ≤ M (1 pt).
12. 1 (1 pt).
13. n·(1/n) (1 pt).
14. n·(1/n)−n = 1−n → −∞ (2 pts).
15. 3/2 (termes dominants) (2 pts).
16. À partir de N, L−ε<u<w<L+ε, donc L−ε<v<L+ε (2 pts).
17. |(−1)^n/n|≤1/n→0, 0 (2 pts).
18. Suite bornée croissante (1 pt).
19. Bornée par ±1/n, 0 (1 pt).
20. 0 (exponentielle domine) (1 pt).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : lim(1/n) ?

Méthode : Référence.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de limite (en un point, en ±∞, à gauche/droite).
2. Vérifie s'il y a une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞−∞…).
3. Si FI, lève l'indétermination par factorisation, simplification ou croissance comparée.
4. Conclus avec la limite.

Réponse finale : 0

Corrigé de l'exercice 2

Question : lim(2^n) ?

Méthode : q>1.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de limite (en un point, en ±∞, à gauche/droite).
2. Vérifie s'il y a une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞−∞…).
3. Si FI, lève l'indétermination par factorisation, simplification ou croissance comparée.
4. Conclus avec la limite.

Réponse finale : +∞

Corrigé de l'exercice 3

Question : lim(0,5^n) ?

Méthode : |q|<1.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de limite (en un point, en ±∞, à gauche/droite).
2. Vérifie s'il y a une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞−∞…).
3. Si FI, lève l'indétermination par factorisation, simplification ou croissance comparée.
4. Conclus avec la limite.

Réponse finale : 0

Corrigé de l'exercice 4

Question : lim((n+1)/n) ?

Méthode : Termes dominants.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de limite (en un point, en ±∞, à gauche/droite).
2. Vérifie s'il y a une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞−∞…).
3. Si FI, lève l'indétermination par factorisation, simplification ou croissance comparée.
4. Conclus avec la limite.

Réponse finale : 1

Corrigé de l'exercice 5

Question : lim(sin(n)/n) ?

Méthode : |sin(n)/n|≤1/n.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de limite (en un point, en ±∞, à gauche/droite).
2. Vérifie s'il y a une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞−∞…).
3. Si FI, lève l'indétermination par factorisation, simplification ou croissance comparée.
4. Conclus avec la limite.

Réponse finale : 0 (gendarmes)

Corrigé de l'exercice 6

Question : Suite croissante majorée par M : que dit le théorème ?

Méthode : Convergence monotone.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de suite (arithmétique, géométrique, récurrente…).
2. Si récurrence : initialisation (vérifier P(n0)), hérédité (P(n) ⇒ P(n+1)), conclusion.
3. Si convergence : étudier la monotonie et la borne, ou appliquer le théorème des gendarmes ou des suites adjacentes.
4. Conclus avec la limite ou la propriété démontrée.

Réponse finale : Converge vers L ≤ M

Corrigé de l'exercice 7

Question : lim((3n²+1)/(2n²−5)) ?

Méthode : Termes dominants.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de limite (en un point, en ±∞, à gauche/droite).
2. Vérifie s'il y a une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞−∞…).
3. Si FI, lève l'indétermination par factorisation, simplification ou croissance comparée.
4. Conclus avec la limite.

Réponse finale : 3/2

Corrigé de l'exercice 8

Question : u(n)=(−1)^n/n. Limite ?

Méthode : |(−1)^n/n|≤1/n.

Étapes détaillées :

1. Identifie le type de limite (en un point, en ±∞, à gauche/droite).
2. Vérifie s'il y a une forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞−∞…).
3. Si FI, lève l'indétermination par factorisation, simplification ou croissance comparée.
4. Conclus avec la limite.

Réponse finale : 0