Vecteurs dans l'espace et représentations paramétriques de droites

Dans un repère (O, i, j, k) de l'espace, un point M a des coordonnées (x, y, z). Un vecteur u→ a pour coordonnées (a, b, c). Une droite D passant par A(xA, yA, zA) de vecteur directeur u→(a, b, c) admet la représentation paramétrique : x = xA + a·t, y = yA + b·t, z = zA + c·t (t ∈ ℝ). Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, sécantes si le système a une solution unique, non coplanaires sinon. Un vecteur AB→ = (xB−xA, yB−yA, zB−zA). La représentation paramétrique permet de calculer intersections et positions relatives.

📝 Examen de trimestre (barème : 20 pts, grille : 16-20 = TB, 12-15 = B, 8-11 = passable, <8 = insuffisant)

1. AB→ pour A(1,2,3), B(4,6,8). (1 pt)
2. Représentation paramétrique de D passant par A(1,0,2), u→(1,2,1). (2 pts)
3. Droite passant par A(2,3,1), B(5,7,4). (2 pts)
4. D : x=1+t, y=2+3t, z=−1+t. Point pour t=2. (1 pt)
5. M(3,8,1) ∈ D (précédente) ? (2 pts)
6. D1 : (1,2,3)+t(1,1,1), D2 : (0,0,0)+s(2,2,2). Parallèles ? (2 pts)
7. Norme de u→(2,3,6). (1 pt)
8. Démontre qu'une droite est définie par un point et un vecteur. (2 pts)
9. D : (1,1,1)+t(1,2,3), point P(4,7,10) ∈ D ? (2 pts)
10. Droites sécantes : résoudre système. (3 pts)
11. Intersection D1 et D2 coplanaires. (2 pts)
12. D : x=2+t, y=3+2t, z=1+3t. Valeur t pour z=10. (1 pt)
13. Démontre la représentation paramétrique. (2 pts)
14. Deux droites non coplanaires : exemple. (1 pt)
15. Droite par A(0,0,0) de direction (1,0,0). (1 pt)
16. Projection d'un point sur une droite. (2 pts)
17. Distance AM pour M(1,1,1), A(0,0,0). (1 pt)
18. Norme de (1,2,2). (1 pt)
19. Droites parallèles D1 et D2. (1 pt)
20. Système 3 équations à 1 inconnue t. Résolution. (1 pt)

Corrigé et barème :

1. (3, 4, 5) (1 pt).
2. x=1+t, y=2t, z=2+t (2 pts).
3. AB→=(3,4,3), x=2+3t, y=3+4t, z=1+3t (2 pts).
4. M(3, 8, 1) (1 pt).
5. z=−1+t=1 → t=2, x=3, y=8, oui (2 pts).
6. (2,2,2)=2(1,1,1), colinéaires, parallèles (2 pts).
7. √(4+9+36)=7 (1 pt).
8. Un point + direction = droite unique (2 pts).
9. 1+t=4, t=3, y=7, z=10, oui (2 pts).
10. Égaliser coordonnées et résoudre (3 pts).
11. Résoudre le système 3×2 (2 pts).
12. 1+3t=10, t=3 (1 pt).
13. AM→=t·u→, d'où M=A+t·u→ (2 pts).
14. D1=(1,0,0)+t(0,1,0), D2=(0,0,1)+s(1,0,0) (1 pt).
15. x=t, y=0, z=0 (1 pt).
16. Projeter sur la direction et ajuster (2 pts).
17. √3 (1 pt).
18. 3 (1 pt).
19. Vecteurs directeurs colinéaires (1 pt).
20. t solution des 3 (compatible) (1 pt).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : AB→ pour A(1,2,3), B(4,6,8) ?

Méthode : xB−xA.

Étapes détaillées :

1. xB−xA.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : (3, 4, 5)

Corrigé de l'exercice 2

Question : Représentation paramétrique de D par A(1,0,2), u→(1,2,1) ?

Méthode : A+t·u.

Étapes détaillées :

1. A+t·u.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : x=1+t, y=2t, z=2+t

Corrigé de l'exercice 3

Question : Droite par A(2,3,1), B(5,7,4) ?

Méthode : AB→ directeur.

Étapes détaillées :

1. AB→ directeur.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : x=2+3t, y=3+4t, z=1+3t

Corrigé de l'exercice 4

Question : D : x=1+t, y=2+3t, z=−1+t. Point pour t=2 ?

Méthode : Remplace t.

Étapes détaillées :

1. Remplace t.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : M(3, 8, 1)

Corrigé de l'exercice 5

Question : M(3,8,1) ∈ D (précédente) ?

Méthode : Résous.

Étapes détaillées :

1. Résous.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : Oui (t=2)

Corrigé de l'exercice 6

Question : Norme de u→(2,3,6) ?

Méthode : √(4+9+36).

Étapes détaillées :

1. √(4+9+36).
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 7

Corrigé de l'exercice 7

Question : D : (1,1,1)+t(1,2,3), P(4,7,10) ∈ D ?

Méthode : 1+t=4, t=3.

Étapes détaillées :

1. 1+t=4, t=3.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : Oui (t=3)

Corrigé de l'exercice 8

Question : D1=(1,2,3)+t(1,1,1), D2=(0,0,0)+s(2,2,2). Relation ?

Méthode : Colinéaires.

Étapes détaillées :

1. Colinéaires.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : Parallèles ((2,2,2)=2(1,1,1))