Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles : P(A|B) = P(A∩B)/P(B) se lit « probabilité de A sachant B ». Formule de Bayes : P(B|A) = P(A|B)×P(B)/P(A). Deux événements sont indépendants si P(A∩B)=P(A)×P(B). Arbre de probabilités : chaque branche porte une probabilité conditionnelle, la somme des branches d'un nœud vaut 1, la probabilité d'un chemin est le produit des branches. Les probabilités conditionnelles servent en médecine (tests), en statistiques (sondages), en intelligence artificielle.

📝 Examen de trimestre (barème : 12 pts)

1. P(A|B) = ? formule (1 pt)
2. A et B indépendants si ? (1 pt)
3. P(A∩B) si indépendants, P(A)=0,3, P(B)=0,4 ? (1 pt)
4. P(A|B) si P(A∩B)=0,2, P(B)=0,5 ? (1 pt)
5. Somme des branches d'un nœud ? (1 pt)
6. P(A)=0,6, P(B|A)=0,5. P(A∩B) ? (1 pt)
7. Indépendants : P(A)=0,5, P(B)=0,5. P(A∩B) ? (1 pt)
8. Arbre : P(chemin) = ? (1 pt)
9. Test maladie : P(M)=0,1, P(+|M)=0,9, P(+|non M)=0,05. P(+∩M) ? (2 pts)
10. Démontre la formule de Bayes. (2 pts)

Corrigé et barème :

1. P(A∩B)/P(B) (1 pt).
2. P(A∩B)=P(A)×P(B) (1 pt).
3. 0,12 (1 pt).
4. 0,4 (1 pt).
5. 1 (1 pt).
6. 0,3 (1 pt).
7. 0,25 (1 pt).
8. Produit des branches (1 pt).
9. 0,1×0,9=0,09 (2 pts).
10. P(B|A)=P(A∩B)/P(A) et P(A∩B)=P(A|B)×P(B) (2 pts).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : P(A|B) = ? (formule)

Méthode : Définition.

Étapes détaillées :

1. Définition.
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : P(A∩B)/P(B)

Corrigé de l'exercice 2

Question : P(A∩B) si indépendants, P(A)=0,3, P(B)=0,4 ?

Méthode : P(A)×P(B).

Étapes détaillées :

1. P(A)×P(B).
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 0,12

Corrigé de l'exercice 3

Question : P(A|B) si P(A∩B)=0,2, P(B)=0,5 ?

Méthode : P(A∩B)/P(B).

Étapes détaillées :

1. P(A∩B)/P(B).
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 0,4

Corrigé de l'exercice 4

Question : P(A)=0,6, P(B|A)=0,5. P(A∩B) ?

Méthode : P(A)×P(B|A).

Étapes détaillées :

1. P(A)×P(B|A).
2. Choisis la méthode, la formule ou le théorème approprié.
3. Effectue les calculs en détaillant chaque étape.
4. Vérifie et conclus.

Réponse finale : 0,3