Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien ln(x) est la réciproque de l'exponentielle : ln(eˣ)=x et e^(ln x)=x. Propriétés : ln(1)=0, ln(e)=1, ln(a×b)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)−ln(b), ln(aⁿ)=n×ln(a). Dérivée : (ln x)'=1/x. Domaine : x>0. La fonction est strictement croissante, tend vers −∞ en 0 et +∞ en +∞. Limites : ln(x)/x→0 en +∞. Le logarithme sert en sciences (décibels, pH, échelles sismiques).

📝 Examen de trimestre (barème : 12 pts)

1. ln(1) = ? (1 pt)
2. ln(e) = ? (1 pt)
3. ln(2)+ln(3) = ? (1 pt)
4. ln(6)−ln(2) = ? (1 pt)
5. ln(2³) = ? (1 pt)
6. Dérivée de ln(x) ? (1 pt)
7. e^(ln 5) = ? (1 pt)
8. Domaine de ln(x) ? (1 pt)
9. ln(100)≈4,6. Calcule ln(10000). (2 pts)
10. pH=−log(H+). Si H+=10⁻³, pH ? (2 pts)

Corrigé et barème :

1. 0 (1 pt).
2. 1 (1 pt).
3. ln(6) (1 pt).
4. ln(3) (1 pt).
5. 3×ln(2)≈2,08 (1 pt).
6. 1/x (1 pt).
7. 5 (1 pt).
8. ]0, +∞[ (1 pt).
9. ln(100²)=2×ln(100)≈9,2 (2 pts).
10. pH=3 (2 pts).

📝 Corrigés détaillés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Question : ln(1) = ?

Méthode : ln(1)=0.

Étapes détaillées :

1. Utilise les propriétés de ln (ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)−ln(b), ln(a^n)=n·ln(a)) ou de exp.
2. Se ramène à ln(A)=ln(B) ⇔ A=B (avec A>0, B>0) ou e^A=e^B ⇔ A=B.
3. Résous l'équation/inéquation obtenue.
4. Vérifie les conditions d'existence (argument de ln > 0).

Réponse finale : 0

Corrigé de l'exercice 2

Question : ln(2)+ln(3) = ?

Méthode : ln(a×b)=ln(a)+ln(b).

Étapes détaillées :

1. Utilise les propriétés de ln (ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)−ln(b), ln(a^n)=n·ln(a)) ou de exp.
2. Se ramène à ln(A)=ln(B) ⇔ A=B (avec A>0, B>0) ou e^A=e^B ⇔ A=B.
3. Résous l'équation/inéquation obtenue.
4. Vérifie les conditions d'existence (argument de ln > 0).

Réponse finale : ln(6)

Corrigé de l'exercice 3

Question : Dérivée de ln(x) ?

Méthode : Dérivée de ln.

Étapes détaillées :

1. Identifie la fonction à dériver et le point où calculer si demandé.
2. Applique les règles de dérivation (dérivée de x^n, de e^x, de ln, somme, produit, quotient, composée).
3. Effectue les calculs intermédiaires avec rigueur.
4. Simplifie et donne la dérivée finale.

Réponse finale : 1/x

Corrigé de l'exercice 4

Question : ln(2³) = ?

Méthode : ln(aⁿ)=n×ln(a).

Étapes détaillées :

1. Utilise les propriétés de ln (ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)−ln(b), ln(a^n)=n·ln(a)) ou de exp.
2. Se ramène à ln(A)=ln(B) ⇔ A=B (avec A>0, B>0) ou e^A=e^B ⇔ A=B.
3. Résous l'équation/inéquation obtenue.
4. Vérifie les conditions d'existence (argument de ln > 0).

Réponse finale : 3×ln(2)